نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم

شاید برای شما هم اتفاق افتاده که در محاسبه و یادآوری نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم (سینوس، کوسینوس، تانژانت و کوتانژانت) با مشکل مواجه شده باشید. در این مقاله سعی می کنیم تا برای همیشه این مشکل را کنار بگذارید و با حک کردن مقادیر هر کدام از نسبت های مثلثاتی در حافظه بلند مدت دیگر نگران این مسئله نباشید.

اهمیت نسبت های مثلثاتی زاویه

نسبت های مثلثاتی و کلاً مثلثات یکی از مفاهیم پایه ای ریاضیات است. این شاخه از ریاضیات در تمام علوم مهندسی و ریاضی، دریایی و هوایی و … کاربرد زیادی دارد به طوریکه اگر مفهوم مثلثات را از این علوم بگیریم، این علوم ناقص خواهند شد. مثلثات به بخشی از ریاضیات اطلاق می‌شود که ارتباط میان زوایا و طول‌ها را مورد بررسی قرار می‌دهد. احتمالا با حذف مفهوم نسبت های مثلثاتی از علم ریاضی، بخش اعظمی از فیزیک نیز بایستی حذف شود البته در ریاضیات نیز این مفاهیم به دفعات مشاهده می‌شوند. پس دیگر لزومی ندارد درباره اهمیت نسبت های مثلثاتی بحث کنیم این نسبت ها خیلی خیلی اهمیت دارند.

تاریخچه مثلثات

برای بررسی نسبت های مثلثاتی زاویه از ابتدا ، بهتر است با تاریخچه آن آشنایی مختصری پیدا کنیم. در کتیبه های سنگی به دست آمده مربوط به سه هزار سال پیش از میلاد، کاربرد مثلثات دیده شده است. با توجه به این موضوع معلوم می شود گذشتگان با مفاهیم مثلثات آشنا بوده اند اما بیشترین کار را در زمینه مثلثات به طور منسجم و کامل به خواجه نصیرالدین طوسی نسبت داده اند. جالب است بدنید اسامی نسبتهای مثلثاتی نیز را خواجه نصیرالدین طوسی برگزیده بود که اول به عربی و بعد به فرانسه ترجمه شده و واژه های امروزی که مصطلح می باشند را بوجود آورده است. خوب هدف ما بیان تاریخچه نیست پس به سراغ روش یادگیری نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم می رویم.

نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم

هدف ما در این آموزش بیان نسبت های مثلثاتی زاویه های Sin Cos Tan و Cot است. پس بسراغ حک کردن زوایا در ذهنمان می ریم. قبل از هر چیز دایره مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید:

  • مرکز این دایره مبدا محور مختصات است.
  • شعاع این دایره یک است.
  • محور x یا افقی محور Cos است.
  • محور y  یا عمودی محور Sin است.

دایره مثلثاتی Sin و Cos

در اینجا طبق شکل بالا می توانیم 5 زاویه مهم رو در دایره مشخص کنیم که 0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه و 360 درجه که همان صفر درجه می شود و طبق شکل زیر مشخص می شود.

دایره مثلثاتی Sin و Cos درجه

حال اگر درجه ها را نگاه کنید طبق این دایره مثلثاتی می توان سینوس و کوسینوس 5 درجه را مشخص کرد ابتدا Sin0 درجه رو بدست می آوریم. می توان مشاهده کرد سینوس در 0 درجه یعنی در محور x هیچ نقشی نداره پس جواب صفر هست. ولی برای Cos در صفر درجه +1 است. پس طبق شکل زیر خواهیم داشت:

نسبت های مثلثاتی زاویه

پس تا الان جدول زیر را می توان با زوایای بدست آمده پر کرد:

جدول سینوس و کوسینوس

محاسبه تانژانت و کوتانژانت

برای محاسبه Tan تانژانت و Cot راه ساده ای داریم می دانیم Tan برابر است با حاصل تقسیم Sin بر Cos و Cot هم برابر با حاصل تقسیم Cos بر Sin  است. پس جدول زیر را داریم:

جدول سینوس و کوسینوس تانژانت و کوتانژانت

حال برای محاسبه زوایای 30، 45 و 60 درجه از یک شگرد دیگر استفاده می کنیم. پیشنهاد می کنیم که ابتدا برای هر خانه Sin و Cos یک خط کسری بکشید و در صورت همه خانه ها رادیکال و در مخرج عدد 2 گذاشته شود طبق شکل زیر:

نسبت های مثلثاتی زاویه

حال نوبت به پر کردن زیر رادیکال ها می رسد برای این منظور از خانه 30 درجه Sin شروع کنید و به ترتیب عدد 1 و 2 و 3 را جایگذاری کنید و برای خانه های Cos نیز همین کار رو برعکس انجام بدبد یعنی 3 و 2 و 1 که جدول بصورت زیر خواهد شد. (می دانیم 1√ برابر 1 است)

جدول نسبت های مثلثاتی سینوس و کوسینوس

حال با تقسیم سینوس بر کوسینوس مقدار تانژانت بدست می آید و با تقسیم کوسینوس بر سینوس مقدار کوتانژانت بدست می آید. فقط باید توجه داشت در تقسیم ها مخرج نمی تواند رادیکال داشته باشد برای این کار هم بایستی مقدار بدست آمده را گویا کرد فرضاً مثال محاسبه Tan 30 درجه بصورت زیر خواهد شد:

محاسبه تانژانت پس جدول کامل نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم سینوس، کوسینوس، تانژانت و کوتانژانت بصورت زیر خواهد بود:

جدول کامل نسبت های مثلثاتی

نتیجه گیری

خوب پس پایه اصلی محاسبات رو متوجه شدید. فقط با یک بار تمرین با کاغذ و خودکار (عقیده من در ریاضیات کار با کاغذ و قلم است) و آنچه که در این آموزش اتفاق افتاد این ترفند برای همیشه و تا ابد در حافظه بلند مدت شما حک می شود و تا آخر عمرتان هیچ مشکلی نخواهید داشت. پس همین الان کاغذ و خودکار را بردارید. شخصاً بنده 20 سال هست این مسئله در ذهنم اینطور حک شده و این یادگیری رو مدیون معلم ریاضی عزیزم جناب آقای عبدی  هستم. امیدوارم از این آموزش راضی باشید.

مطالب زیر را حتما بخوانید

دیدگاه ها

  1. فاطمه گفت:

    خدا خیرتون بده با این روش واقعا یادگیری مثلثات خیلی راحت تر میشه

  2. عرشیا گفت:

    عالی بود

    1. کیوان گفت:

      بسیار عالی

  3. یارا گفت:

    در شکل دو اشتباه زدین سینوس 180 درجه میشه صفر ولی کوسینوسش میشه منفی یک

    1. امین جلیل زاده گفت:

      بله ممنون از یادآوری تون. اشتباه املایی بود که حل کردیم

  4. مهدی گفت:

    سلام یه سوال داشتم چه جوری از ضرب رادیکال یک منهای کسینوس در رادیکال یک به اضافه ی کسینوس سینوس به وجود میاد؟

    1. امین جلیل زاده گفت:

      سلام و عرض ادب
      توضیح مسئله

  5. 돈야 گفت:

    سلام ممنون فقط tan360 رو میشه بگین چجوری صفر شده؟
    ممنون میشم

    1. امین جلیل زاده گفت:

      سلام دوست عزیز
      خوب میدونیم tan = sin/cos و می دونیم sin360 برابر 0 و cos360 برابر 1 هست
      پس tan360=0/1 و این عبارت برابر 0 میشه

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *